2006 yılında FIFA kokartı takan Cüneyt Çakır, şu ana kadar 63 uluslararası müsabakada düdük çaldı. Avrupa Şampiyonası’nda görev alan en genç (36) hakem olan Cüneyt Çakır, ilk uluslararası yarı finaline 2009 yılında İsveç’te düzenlenen 21 Yaş Altı Avrupa Şampiyonası’ndaki İngiltere-İsveç maçında çıktı. Cüneyt Çakır’ı bu karşılaşmadan sadece 10 ay sonra bu kez UEFA Avrupa Ligi’nde yarı final maçı bekliyordu. 29 Nisan 2010’da Fulham ile Hamburg arasında oynanan yarı final rövanş müsabakası Çakır’ın kariyerindeki önemli dönemeçlerinden birini oluşturdu.
2010-2011 sezonunda Şampiyonlar Ligi grup maçlarında yönettiği Rubin Kazan-Barcelona maçıyla 10 yıl aradan sonra bir Türk hakem, Şampiyonlar Ligi’nde görev aldı. Cüneyt Çakır, Haziran 2011’de de en üst kategori olan UEFA elit hakem kategorisine yükseltildi.
Her yıla bir yarı final sığdırmaya başlayan Cüneyt Çakır’ın 2011’deki yarı finali ise Kolombiya’da düzenlenen 20 Yaş Altı Dünya Kupası’nda oldu. Türk hakem, burada Portekiz-Fransa yarı final maçı da dahil olmak üzere toplam 5 müsabakada düdük çaldı.
Cüneyt Çakır, 2011-2012 sezonunda ise 5 tane Şampiyonlar Ligi maçı yönetti. 24 Nisan 2012’de Nou Camp’a çıkan Cüneyt Çakır, Barcelona ile Chelsea arasındaki Şampiyonlar Ligi yarı final rövanş mücadelesini yönetme başarısı gösterdi.